本シリーズについて

非線形現象に対するカルマンフィルタを本で勉強したのでメモも兼ねてまとめます.

前回の記事 dosuex.hatenablog.com では状態遷移、観測がともに線形である(行列演算で記述できる)ケースに適用できるカルマンフィルタを紹介しました。

今回は非線形システムを扱うことができるアンサンブルカルマンフィルタ(Ensemble Kalman Filter; EnKF)を紹介します. アンサンブルカルマンフィルタは, モンテカルロ近似を用いて, 非線形のシステムモデルをそのまま使って分散共分散行列の推定を行います。

コード( Jupyter Notebook )はこちらです.

今回はシステムモデルに関しては非線形モデルを, 観測モデルに関しては線形モデルを仮定する.

$\begin{align} x_{t} &= f_t(x_{t-1}, v_t) \tag{1} \\ y_t &= H_t x_t + w_t \tag{2} \\ \end{align}$

$x_t$ は状態ベクトル, $y_t$ は観測データを表す. 観測ノイズは $w_t \sim N(0,R_t)$ としてガウス分布からサンプルされるノイズを仮定する. 一方, システムノイズ $v_t \sim q_t(v_t)$ は任意の分布で良い.

EnKFではアンサンブル近似を用いて分布の近似を行う. アンサンブル近似とは, 以下の図のようにある確率変数 $x$ の確率分布を $N$ 個のサンプルの集合を用いて近似することである.

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このサンプルの集合 $\{x^{(i)}\}_{i=1}^N$ をアンサンブルを呼ぶ. またそれぞれの $x^{(i)}$ のことを粒子と呼ぶ.

EnKFでは, (1)式, (2)式で与えられる状態空間モデルのもとで, カルマンフィルタと同様に１期先予測とフィルタの手順を繰り返す.

カルマンフィルタでは平均値と共分散行列を逐次的に計算したが, EnKFでは予測分布とフィルタ分布のアンサンブルを逐次的に計算することになる.

これを改めて式で表す.

時刻 $t-1$ でのフィルタ分布 $p(x_{t-1}|y_{1:t-1})$ を近似する $N$ 個の粒子から構成されるアンサンブル $\{x^{(i)}_{t-1|t-1}\}_{i=1}^N$ が準備されているものとする. これは

$\begin{align} p(x_{t-1}|y_{1:t-1}) \approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \delta (x_{t-1} - x^{(i)}_{t-1|t-1}) \end{align}$

と書ける. このフィルタアンサンブルを使って時刻 $t$ での観測 $y_t$ を取り込んで

$\begin{align} p(x_{t}|y_{1:t}) \approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \delta (x_{t} - x^{(i)}_{t|t}) \end{align}$

となる $\{x^{(i)}_{t|t}\}_{i=1}^N$ を求める一連の手続きが, EnKFである.

以下では, 添字の $t|t-1$ は時刻 $t-1$ の情報を用いて時刻 $t$ の状態を推定する操作(予測)を表し, $t|t$ は現在の時刻の情報を用いて状態を最適化する操作(フィルタリング)を表す.

またプライム記号 $\prime$ は行列の転置を表す.

アンサンブルカルマンフィルタ